Billeder på siden
PDF
ePub

à décomposer un ébranlement initial, limité, en ondes de la forme de celles qui peuvent se propager dans le milieu que l'on considère. Or cette forme peut être déterminée à l'avance, et se déduit immédiatement de la forme même de l'équation caractéristique, comme je l'ai montré dans les divers Mémoires que j'ai publiés en 1830.

» Au reste, la seule décomposition d'un ébranlement initial, circonscrit dans un très-petit espace, en ondes limitées renfermées dans ce même espace, est déjà très-utile, quand même ces ondes n'auraient pas la forme de celles qui peuvent se propager dans le milieu que l'on considère, et seraient, par exemple, réduites, dans tous les cas, à des ondes sphériques. En effet, il suffira de substituer une de ces ondes à l'état initial et de particulariser ainsi cet état, pour que les intégrales générales, celles mêmes qui se déduisent de la considération des ondes planes , subissent de nouvelles réductions qui permettront de reconnaître plus facilement les lois des phénomènes; et ces lois une fois établies pour un état initial représenté, par exemple, par une seule onde sphérique, continueront de subsister pour un état initial représenté par un système d'ondes sphériques, c'est-à-dire pour un état initial quelconque.

» Je me bornerai, dans le présent Mémoire, à établir les formules générales qui servent à décomposer un état initial en ondes d'une forme donnée; et à déduire de ces formules les intégrales qui représentent les ondes sphériques ou ellipsoïdales. Dans un autre Mémoire, j'appliquerai les mêmes formules à l'intégration des équations homogènes, ou même non homogènes, par exemple, de celles qui représentent les ondulations lumineuses dans le cas où l'on a égard à la dispersion de la lumière.

[ocr errors]

ANALYSE.

S ler. Formules générales.

» On a, comme l'on sait, en désignant par e une quantité positive, qui peut d'ailleurs être très-petite,

[blocks in formation]

On en conclut, en désignant par A une autre quantité positive, et remplaçant r parer,

Som

+09

e dr

[ocr errors]

/。

20.3

puis en différentiant par rapport à 0, et posant après la différentiation A= =l, e II,

S* +

(it role

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

Ces dernières équations, que l'on peut d'ailleurs établir directement, vont nous fournir les moyens d'obtenir des formules générales relatives à la transformation des fonctions de trois variables indépendantes. » Soit

f(x, y, z)

une fonction arbitraire de trois variables x, y, z, qui pourront être considérées comme représentant trois coordonnées rectangulaires. Soit encore

[blocks in formation]
[ocr errors]

وه

une fonction des mêmes variables, homogène, du premier degré, et tellement choisie, que la surface représentée par l'équation (1), pour une valeur donnée de v, soit une surface convexe, par conséquent une surface continue, fermée de toutes parts, et rencontrée en un seul point par un rayon vecteur mené à partir de l'origine, ou même à partir d'un point intérieur quelconque, dans une direction donnée. Enfin soit

[merged small][ocr errors][subsumed][merged small][merged small]

ce que devient le facteur e, quand on y remplace

[ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]

1, M, v désignant les coordonnées rectangulaires d'un nouveau point

и distinct du point (x, y, z); et supposons l'intégrale triple

[blocks in formation]

qui répondent aux divers points d'un volume dont l'enveloppe extérieure, composée de surfaces planes ou courbes, soit d'ailleurs convexe, comme la surface représentée par l'équation (1). Si l'on transforme les coordonnées rectangulaires

λ, μ, ν

[ocr errors]

en coordonnées polaires p, q, r, en plaçant la nouvelle origine au point (x,y,z), à l'aide des formules connues

[ocr errors]

(4) 1- x=r cosp, uy=rsin p cos q.,

1-z=rsin p sin q;

si d'ailleurs on suppose le point (x, y, z) renfermé lui-même dans le volume , on trouvera, puisque la fonction $ (x, y, z) est homogène et du premier degré,

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]
[ocr errors]
[ocr errors]

su sinpf(x+rcosp; y+rsin p cosq, ztrsin psinq)drdqdp,

l'intégration devant être effectuée par rapport aux variables p, q entre les limites

p =0, P = 7, 9 = 0; T = 271,

et par rapport à r depuis une valeur nulle du rayon vecteur r jusqu'à la
valeur
p qui répond au point où la direction de ce même

rayon,

déterminée par les angles p et q, rencontre l'enveloppe du volume V.

» Concevons à présent que le nombre e devienne infiniment petit. Alors
le
rapport

Erasinp
(ε? + Ω'r):

sera sensiblement nul, excepté dans le cas où r différera très-peu de zéro,

[blocks in formation]

Si dans cette dernière équation l'on remplace r par , elle donnera

[ocr errors][subsumed][merged small][ocr errors][subsumed][merged small][subsumed]

D'ailleurs, e étant très-petit, on aura sensiblement

[ocr errors][merged small][ocr errors][subsumed][merged small][subsumed][subsumed][ocr errors][merged small][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

la valeur de R étant toujours déterminée par la formule

[ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

et l'intégrale triple s'étendant à tous les systèmes de valeurs de 1, Me v qui répondent à des points renfermés dans le volume v.

» Dans ce qui précède, nous avons supposé que 5 (BC, y, z) était une fonction homogène du premier degré. Mais il est clair que

l'on par viendrait encore à la formule (12), dans le cas contraire, si le rapport se réduisait à

1

R

[ocr errors]

r

[ocr errors][merged small]

une constante finie et différente de zéro, pour une valeur nulle de r. Seulement alors la valeur de ne serait plus celle que détermineraient les formules (6) et (10).

» Pour montrer une application très-simple de la formule (12), supposons l'équation (1) réduite à

[blocks in formation]

La surface représentée par cette équation deviendra une surface sphérique; et, comme on trouvera

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]
[ocr errors]

comme variables , représentera elle-même une sphère dont le rayon sera R, le centre coïncidant avec le point (a, u, v). Ainsi l'équation (14) peut être considérée comme servant à décomposer une fonction quelconque des coordonnées rectangulaires x, y, z, en une infinité de termes dont chacun étant de la forme

[ocr errors]
[merged small][merged small][subsumed][ocr errors]

conserve la même valeur, tandis que l'on parcourt la surface d'une sphère qui a pour centre le point (a, M, v). Si, dans une question de physique ma

C. R., 1841, 24 Semestre. (T. XIII, No 1.)

2

« ForrigeFortsæt »