thématique, la fonction

f(x, y, z)

représente le déplacement initial ou la vitesse initiale d'une molécule dans l'intérieur du volume 9, ou plus généralement la valeur initiale d'une inconnue quelconque 8, la formule (14) pourra être considérée comme propre à décomposer l'état initial en une infinité d'autres états dont chacun offrirait ce qu'on peut appeler une onde sphérique, la valeur de l'inconnue & restant alors la même dans tous les points situés à la même distance du point (λ, μ, v).

» Dans le cas général, la formule (14) pourra être considérée comme servant à décomposer un état initial donné en une infinité d'autres du genre de celui qu'on obtient quand la valeur initiale d'une inconnue & dépend uniquement du paramètre de la surface représentée par l'équation (1). Chacun de ces derniers états offrira ce que nous appellerons une onde sphérique, ou ellipsoïdale, etc., suivant que la surface représentée par l'équation (1) sera une sphère, ou une ellipse, etc.

» Si l'équation (1), se réduisant à celle d'un ellipsoïde, était de la forme

(16)

&=

(axa +bya + cza + 2dyz + 2ezx + 2 fx y)3,

a, b, c, d, e, f désignant des quantités constantes, la formule (10) don

Alors aussi l'équation (20) représenterait un ellipsoïde dont le centre coïnciderait avec le point (λ, u, v).

>> En terminant ce paragraphe, nous ferons encore une remarque. On pourrait déduire l'équation (14), et c'est même ainsi que je l'ai d'abord trouvée, de la formule

que j'ai substituée à la formule de Fourier (voir le 19 cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, ainsi que les Exercices de Mathématiques), et qui suppose l'intégration relative à chacune des variables auxiliaires a, b, y, effectuée entre les limites∞, ∞. Quant aux intégrations relatives aux variables auxiliaires λ, u, v, elles devront être, dans la formule (21), comme dans la formule (14), étendues à tous les points du volume, si la fonction f(x, y, z) n'a de valeur sensible que dans l'intérieur de ce volume. Or la formule (21) peut s'écrire comme il suit

sont considérées, dans l'équation (23), comme représentant des coordonnées rectangulaires, puis transformées en coordonnées polaires à l'aide des formules

a=r cosp, b = r sin p cosq, y=r sinp sinq,

alors, en posant pour abréger

= [ (x − x)® + (y — μe )° + (z — v)•] 3,

et

(x —λ) cosp+(y—u) sinp cos q+(z— ») sinp sin q = ›

cosd,

on trouvera

A

27

& = (-)'S "S"S" Circas ¡V sin p dr dq dp.

Par suite, en considérant l'intégrale

tandis que

le nombre s'approche indéfiniment de la limite zéro, et ayant égard à la formule connue

π

S*f* f(cos) sin p dq dp = 27 [* ƒ (~ cos p) sin p dp,

les variables x, y, z, t représentant d'ailleurs trois coordonnées rectangulaires et le temps. On pourra satisfaire à l'équation (1), en posant

(2)

४ ==

(ux + vy+wz ±st),

la lettre indiquant une fonction arbitraire, et u, v, w, s désignant des coefficients constants liés entre eux par la formule

Par suite, on vérifiera encore l'équation (1), si l'on pose

et K désignant une fonction quelconque des coefficients u, v, w. D'ailleurs, pour une valeur constante de, l'équation (5) représentera un plan dont la position sera variable dans l'espace avec les valeurs des coefficients.

u, v, w;

et la surface, enveloppe de ce plan, pourra encore être représentée par l'équation (5), pourvu que l'on y considère

u, v, w, s,

non plus comme des quantités constantes, mais comme des fonctions de x, y, z déterminées par la formule

Or, sous cette condition, et en posant, pour abréger,

(9) t* = ax2 + by + cz' + 2dyz + 2ezx + 2fxy,

qui, pour une valeur constante dev, représente un ellipsoïde. Enfin l'on s'assurera aisément que la valeur de fournie par la formule (2), quand on y substitue la valeur de que donne la formule (9), continuera de vérifier l'équation (1), si l'on y suppose

représenteront deux intégrales particulières de l'équation (1).

Supposons maintenant que la valeur initiale de 8, correspondante à une valeur nulle de t, dépende uniquement de la quantité positive, considérée comme fonction de x, y, z en vertu de la formule (9). Si l'on représente cette valeur initiale par f(), en supposant nulle la valeur initiale de D,, c'est-à-dire, si l'on assujettit l'inconnue & à vérifier pour t=0, les deux conditions