x+έ, y+v, z+2 die Coordinaten der Moleküle m, und x+x++A§, y+y+v+A2, =+z+6+43 die der Moleküle m sein. Es sei in demselben Zeitpunkt: rtę der Abstand der Molekülen m und m. Die Projectionen des Abstandes r+g auf die drei Coordinataxen werden gleich sein der Differenz zwischen den Coordinaten der Molekülen m und m, also gleich: x + As, y + Av, z +A?, und man wird folglich haben: (r+g)2 = (x + A§)2 + (y + Av)2 + (z + A2)2. Dies vorausgesetzt, um aus den Gleichungen (2) des Gleichgewichts die der Bewegung herzuleiten, ist es augenscheinlich nur nöthig, in jenen Formeln links vom Gleichheitszeichen statt Null die Differentialen 1 dı, du, dağ zu substituiren, dann im zweiten Gliede statt des Abstandes rund seiner Projectionen x, y, z, den Abstand r+g und seine Projectionen x + Aš, y + Av, z +A? hineinzusetzen. Auf diese Weise erhält man die folgenden Gleichungen der Bewegung eines Systems von Molekülen: (3) d; = S [m (x +44) f (r +g)], §. 2. Gleichungen des Gleichgewichtes und der Bewegung zweier Systeme von Molekülen, die sich gegenseitig durchdringen *). Betrachten wir jetzt zwei Systeme von Molekülen, die in demselben Theile des Raumes coexistiren. Es seien im ersten Moment und im Zustande des Gleichgewichts: x, y, z die Coordinaten einer Moleküle m des ersten Systems oder einer Moleküle m' des zweiten Systems, x + x, y + y, z +z die Coordinaten einer Moleküle m des ersten Systems oder einer Moleküle m' des zweiten Systems, *) Cauchy Ex. d'An et de Ph. Math. Tome I. pag. 33-37. und r der Radius vector, welcher von mt oder m' zur Moleküle m oder m' gezogen ist, so wird: und die Cosinus der Winkel, welche dieser Radius vector r mit den Halbaxen der positiven Coordinaten bildet, werden dann gleich: X Ꭹ Z r r r sein. Nehmen wir ferner an, dass die gegenseitige anziehende oder abstossende Kraft der zwei Massen m und m oder m' und m', proportional sei mit diesen Massen und mit einer Function des Abstandes, und folglich ausgedrückt werden kann durch mmf (r) für die Molekülen m und m des ersten Systems, durch mm'f, (r) für die Molekülen m und m', unter denen die eine zum ersten, die andere zum zweiten Systeme gehört, und durch m'm'f,,(r) für die Molekülen m' und m' des zweiten Systems. Die Functionen f(r), f, (r), f,, (r) werden dann als positive Grössen angesehen, wenn die Molekülen einander anziehen, als negative, wenn sie einander abstossen. Bildet man jetzt die Potenzialen dieser Kräfte, oder macht man: so werden die Projectionen dieser drei Kräfte auf die Coordinatenaxen gleich sein, was die Kraft mmf(r) betrifft: mmxf(r), mmyf(r), mmzf(r), was die Kraft mm'f,(r) betrifft: mm'xf, (r), mm'y f, (r), mm'zf, (r), und was die Kraft m'm'f,,(r) betrifft: m'm'xf,, (r), m'm'yf,,(t), m'm'zf,, (r). Die Gleichungen des Gleichgewichts der Molekülem werden dann sein: (5) 0 = S[mxf(r)] + S [m'xf, (r)], 0 = S [mzf(r)] + S [m'zf, (r)], wo das Zeichen S eine Summe ähnlicher Glieder bezeichnet, die sich auf die verschiedenen Molekülen m des ersten Systems und auf die verschiedenen Molekülen `m' des zweiten Systems beziehen. Ebenso werden die Gleichungen des Gleichgewichts der Moleküle m′ : (6) 0 = S[m'xf,,(r)] + S[mxf,(r)], 0 = S [m'yf,, (r)] + S [my f,(t)], 0 = S [m'z f,, (r)] + S [m zf, (r)], wo das Zeichen S eine Summe ähnlicher Glieder bezeichnet, die sich auf die verschiedenen Molekülen m' des zweiten und m des ersten Systems beziehen. Nehmen wir jetzt an, dass die verschiedenen Molekülen m, m, m', m'.... sich zu bewegen anfangen. Es seien alsdann am Ende des Zeitraums t... ¿, v, ¿ die Verschiebungen der Moleküle m und', ', ' die Verschiebungen der Moleküle m' parallel den drei Coordinataxen. Es seien ferner +44, v+Av, ?+ und +4, ú′+ Av′, 5′+A” die entsprechenden Verschiebungen der Molekülen m und m'. Die Coordinaten der Moleküle m werden dann am Ende des Zeitraums t sein: x+x+¿+A§, ÿ+y+v+Av, z+2+3+AS, und die der Moleküle m': x+x+5′+Aš', y+y+v′+Av′, z+z+3' + 43. Es sei auch nach Verlauf desselben Zeitraums r+g der Abstand der Molekülen m, m; r+g, der Abstand der Molekülen m, m'; r+g der Abstand der Moleküle m', m, und r+g, der Abstand der Molekülen m', m'. Es wird dann: (7) (r+g)' = (x+A§)2+(y+Av)2 + (z+A?)3, (r+g,)2=(x+§'—§ + A§')2 + (y +v'—v+Av)3+ (z+?'—¿+A?')", (r+,g)2 = (x+§—§′+1§)2+(y+v−v'+Av)2 + (z+?−3′+A?)', (r+g,,)3 = (x+A§')2 + (y +Av′) + (z+A5')3. Um jetzt aus den Gleichungen des Gleichgewichts diejenigen der Bewegung herzuleiten, ist es nur nöthig, in jenen Formeln statt der ersten Theile die Differentialen da, dv, d?? und d di̟v, di̟ ? zu substituiren und in die zweiten Theile statt des Abstandes r und seiner Projectionen x, y, z in die ersten Glieder der Gleichungen (5) r+g und seine Projectionen, in die zweiten Glieder derselben Gleichungen r+e, und seine Projectionen, in die ersten Glieder der Gleichungen r+g,, und seine Projectionen, und endlich in die zweiten Glieder derselben Gleichungen r + und seine Projectionen. Man erhält auf diese Weise folgende Gleichungen der Bewegung zweier Systeme von Molekülen: d' (8) d2 = S [m(x+4§)f(r+g)] + S[m2 (x + §' — § + A§') f, (r+g,)], d?v=S[m(y+Av)f(r+g)] + $[m'(y+v'~v+Av') f, (r+g;)], d?? = S [m (z+A2)f(r+g)] + S[m2 (z+ 2' — 2+12') f, (r+g,)], ́ dag = S [m' (x+A') f,, (r+g,,)] + S [m(x+¿—§'+A§) f, (r+,g)], div = S [m'(y+Av′)f,, (r+g,,)] + S [m(y+v—v′+Av) f, (r+,g)], d? 2' = S [m2 (z+^?') f,„, (r+e,„,)] + S [m (z+3 — 2′+AS) f, (r+,g)]. §. 3. Gleichungen der unendlich kleinen Bewegungen eines Systems von Molekülen *). Betrachten wir jetzt in einem gegebenen Systeme von Molekülen eine schwingende Bewegung, zufolge welcher jede Moleküle sich sehr wenig von ihrer anfänglichen Stellung entfernt. Die Verschiebungen 4, v, 2, A§, Av, A2 können alsdann als unendlich kleine Grössen erster Ordnung betrachtet werden, deren höhere Potenzen man vernachlässigen kann. Man erhält dann: und die Gleichungen (3) werden dann übergehen in: oder, wenn man der Kürze wegen durch L, M, N, P, Q, R folgende characteristische Functionen bezeichnet: *) Cauchy Ex, d'An et de Ph. Math. Tome I. pag. 3-6. welche Gleichungen auch auf folgende Weise geschrieben werden können: Um diesen Gleichungen die Form lineärer Gleichungen partieller Differentiale zu geben, braucht man nur die endlichen Dif. ferenzen der Hauptvariabeln &, v, 2 in Reihen nach ihren derivirten Functionen verschiedener Ordnung zu entwickeln, oder zu setzen. Die Coefficienten der derivirten Functionen der absolut Variabeln werden dann Summen der Form: S[mxn yn'zn" f(r)], S[mxn yn'zn❝d, f(r)], wo n, n', n" ganze Zahlen bezeichnen. Nimmt man jetzt an, die Constitution des gegebenen Systems von Molekülen sei überall dieselbe, so werden diese Summen sich auf constante Grössen reduciren, d. h. dinaten x, y, z der Moleküle m sein. nen folglich als lineäre Gleichungen constanten Coefficienten zwischen den unabhängig von den CoorDie Gleichungen 14 könpartieller Differentiale mit Hauptvariabeln 4, v, 2 und den Absolutvariabeln x, y, z, t betrachtet werden. *) Man hat bei einer Variabel in Folge des Taylor'schen Theorems: xd x F(x + x) =e F(x) = F(x) + AF(x), folglich Ae ebenso bei mehreren Variabeln. xd |
