tical sind; so ist zuerst die Variation von fzds

ahdh + a'h'dh'; ferner die Variation von T:bdh + b'dh'; endlich die Variation von U gleich Null. Daher wird

dW = ahdh + a'h'dh' — (2ß3 — α3) (bdh + b'dh').

Da ferner das Volumen s unverändert bleibt, so ist seine Variation adh a'dh'= 0; die Verbindung dieser Gleichungen giebt, wenn zur

Abkürzung 2ẞay gesetzt wird, hh'y (b) oder

b'

༡༩

b'

a

b

a

Ist die zweite Röhre so weit, dass wegen der Grösse von a' vernachlässigt werden kann, so kommt h — h′➡y-, woraus sich, wenn der innere Querschnitt ein Kreis ist, ein dem Durchmesser desselben umgekehrt proportionales Aufsteigen oder Sinken ergiebt. Nimmt man die Anfangs-Ebene der h so, dass h—y -= 0, so wird auch h'

b'

b

a

Y = 0; alsdann drücken ah = = yb, a'h'=yb'

a'

die Mengen der Flüssigkeit aus, welche, wenn y positiv ist, über diejenige Oberfläche gehoben sind, die in Abwesenheit aller Capillar-Anziehung für y 0 Statt finden würde.

=

Aus der Bedingung, dass W ein Minimum sein soll, lassen sich die zur Bestimmung der Gestalt der Flüssigkeit nöthigen Gleichungen entweder durch Variations-Rechnung, oder auf einem mehr geometrischen Werthe herleiten, welchem seiner Kürze wegen hier der Vorzug zu geben ist. Man denke sich die Gestalt der Flüssigkeit im Gefässe, deren freie Oberfläche mit U, vom Gefäss bedeckte mit T bezeichnet wurde, auf beliebige Weise unendlich wenig geändert; es seien U', T' die freie und die bedeckte Oberfläche nach dieser Aenderung. Die Grenzlinie zwischen U und T, oder der Umring von U, heisse P, der Umring von U heisse P'. In einem beliebigen Puncte p von U ziehe man die Normale n auf U, ferner ziehe man aus p auf der Fläche U zwei unendlich kleine Linear-Elemente pg= dl, pg' dl', das eine in der Richtung der grössten, das andere in der Richtung der kleinsten Krümmung, welche mithin senkrecht auf einander stehen; so ist dU = dl. dl' ein Element der Fläche U. Es seien m und m' die zu den LinearElementen dl und dl' gehörigen Krümmungsmittelpuncte in n, mp=R m'pR' die Krümmungshalbmesser, positiv zu nehmen, wenn die

convexe Seite der Fläche U in p nach aussen gekehrt ist, und man nenne x, y, y' die Puncte, in welchen die Fläche U' durch die nöthigenfalls verlängerten Geraden n, mg, m'g' getroffen wird, oder da eine in der Grenze P errichtete Normale an der Fläche U' vorbeigehen kann, ohne sie zu treffen, so denke man sich in den Puncten von P' berührende Ebenen an U' gelegt; die Normale n wird alsdann die durch diese Berührungs-Ebenen gebildete Fortsetzung der Fläche U', und zwar in einem der Grenzcurve P' unendlich nahen Puncte x, treffen. Setzt man xy= dλ, xy' = dx', endlich das Element der Normale px = ôn, wobei Sn positiv oder negativ zu nehmen ist, je nachdem pr ausserhalb oder innerhalb des von der Flüssigkeit erfüllten Raumes liegt; so ist, weil die Flächen U und U' in den Puncten p und unendlich nahe parallel sind, R:R+ ♪n = dl; d‰, oder d2 = dl (1 + und auf

δη

R

gleiche Weise d>=dl' (1+0), mithin d. dx = dl. dl' (1+r) :

δυ

(1 + OH),

R.

R

oder mit Weglassung der zweiten Potenz von dn,

d2. dx' = dU + (1 + 212) on. dU. Das doppelte Integral Sdx.d~',

R R'

über die gesammte Oberfläche U ausgedehnt, ist gleich dem Theil der Oberfläche U', welcher von den von U ausgehenden Normalen getroffen wird, und mit A bezeichnet werde, vermehrt um den von jenen Normalen getroffenen Theil der oben bezeichneten Fortsetzung von U, welcher einen unendlich schmalen, an einem Theil der Grenz-Curve P', und zwar in Bezug auf die Fläche U' nach aussen liegenden Streifen B bildet. Es sei noch C der von den Normalen nicht getroffene Theil von U', welcher einen an dem übrigen Theil von P' innerhalb liegendeu unendlich schmalen Streifen bildet, so hat man U' A + C und

=

folglich U – U = U = faUôn ( + ) + C − B

U'

δη

+i)

R R

In irgend einem Puncte der Curve P lege man die Berührungs-Ebene an U, und ziehe senkrecht auf der Tangente an P in μ, in der Berührungs-Ebene, eine von μ in Bezug auf die Fläche U nach innen gerichtete Gerade a. Ferner ziehe man, ebenfalls senkrecht auf der Tangente an P in u, in der Berührungs-Ebene der Gefässwand eine gerade Linie b, welche von μ in Bezug auf

=

den Raum der Flüssigkeit nach aussen gerichtet sei; es sei i der Winkel zwischen a und b, also i die Neigung der Wand gegen die freie Oberfläche der Flüssigkeit, im Puncte . Es sei u ein dem Puncte unendlich nahe liegender Punct von P', das lineare Element μμ' sei = de, und k seine Neigung gegen die Richtung von b, seine Neigung gegen a. Da die Ebene der Geraden a, b oder die Normal-Ebene der Curve P senkrecht steht auf der Berührungs-Ebene der Wand, in welcher nicht allein die Gerade b, sondern auch das Linear-Element deμμ' liegt, weil der Punct μʻ der Curve P' unendlich nahe bei und, wie dieser Punct, in der Wand des Gefässes liegt, so geben die Richtungen de, a, b ein rechtwinkliches sphärisches Dreieck, in welchem (de, a) die Hypotenuse, (de, b) = k, < (a, b) = i die Catheten sind; daher ist cos = cos k cos i. Nun ist de. cos die Projection von de auf a, mithin de. cos. dP ein Element des Streifens B oder C, je nachdem Winkelspitz oder stumpf ist. Folglich ist C-B= -ЛdP.se.cos = -/dP. &e.cos k cos i, die Integration über den ganzen Umring P ausgedehnt. Demnach ist die Variation von U

=

U−U= fdUồn ( + ) — JdP .se. cos k cos i.

R R

εU = Ferner ist se.cos k die Projection von se auf die Richtung von b, welche auf der Richtung des Elementes dP der Curve P senkrecht steht, und wie dieses in der Berührungs-Ebene der Wand liegt; folglich ist se. cos k. dP das Element der Variation, welche die bedeckte Oberfläche T der Flüssigkeit erleidet, oder es ist

ST = /dP .de . cos k

wo die Integration sich über den Umring P erstreckt. Endlich ist dU. Sn der Inhalt eines über der Grandfläche dU errichteten Prismas von der Höhe dn, also das Element der Variation des von der Flüssigkeit erfüllten Raumes s, und da der zu demselben gehörige Werth von z dem zum Flächen-Elemente dU gehörigen z unendlich nahe gleich ist, so ist zdUsn, das Element der Variation von fzds, oder zds = ƒzdUồn, das Integral über U ausgedehnt. Das Integral SdU.ôn stellt die Variation des Raumes s vor, und muss daher 0 sein, also ist ds = = ƒdU. dn = 0. Diese Werthe geben für &W= Szds + (α2 — 2ß3) ôT + a3ôU den Ausdruck

sW=/dUôn [z+a+ 1)] −/dP. de cos k {a'cosi+2ß3 —a3f.

Da SW nicht negativ werden darf, wie man auch die unendlich

kleinen Variationen dn und de wähle, so muss der Ausdruck z+

ας

G

(+) unveränderlich sein; denn wäre er es nicht, so könnte

R

man jedenfalls, ohne die Grenzcurve P zu ändern, also de=0 setzend, die Variationen dn so wählen, dass dW einen negativen

Werth erhielte. Ist aber z + a3 (+) = C, so wird, weil SdU. du = 0, dW =-dP.de. cos k {a2 cos i +2ẞ2 — a2}, und da de. cos k immer noch ganz willkührlich bleibt, so muss, wenn W nicht negativ soll werden können, a1 cos i +281-a2 = 0 oder sin ¦i=o sein. Lässt man die z in der horizontalen NormalFläche anfangen (d. h. in der Ebene, welche die Oberfläche der Flüssigkeit bilden würde, wenn keine Capillar-Anziehung Statt fände), so wird die obige Constante C=0, und man erhält für die Oberfläche folgende Gleichungen:

α

Die Constanten ά und ß hängen von den Functionen f und F ab, und können als ein Maass der Intensität der Anziehung zwischen den Theilen der Flüssigkeit unter sich und gegen die Theile des Gefässes betrachtet werden. Wenn 8> a, also die Anziehung des Gefässes gegen die Flüssigkeit grösser ist, als die Anziehung zwischen den Theilen der Flüssigkeit, so kann die Gleichung a sin i = ß nicht bestehen. In diesem Falle giebt es keine bestimmte Gestalt des Gleichgewichtes; denn denkt man sich neben der Flüssigkeit noch eine sehr dünne Schicht über einen Theil der Wand, dessen Fläche T' sei, ausgebreitet, so ist T' die Zunahme der bedeckten Oberfläche T und zugleich erleidet auch die freie Oberfläche U nahe dieselbe Zunahme T. Der Ausdruck W = fzds +(a2 282) T+ a U verwandelt sich dann in folgenden, der desto genauer ist, je dünner die hinzugefügte Schicht, nämlich W'=fzds +(a3 — 282) (T + T') + a2 (U + T'), und da das Integral zds in beiden nahe denselben Werth vorstellt, so wird W'-W=2(α — p1) T', also da > a2, WW, also wird ßa durch die Annahme einer weiteren Ausbreitung der Flüssigkeit auf der Wand des Gefässes, W vermindert. Ist aber die ganze Wand des Gefässes mit einer unmerklich dünnen Schicht der Flüs sigkeit benetzt, so kann man in den Gleichungen für die Oberfläche ẞa setzen, indem alsdann die benetzende Schicht als Oberfläche der Wand sich ansehen lässt. Alsdann wird sini = = 1,

oder iπ; also berührt die freie Oberfläche der Flüssigkeit die Wand des Gefässes.

Die gefundenen Resultate setzen völlig freie Beweglichkeit der flüssigen Theilchen voraus. Diese findet im Innern der Flüssigkeit und an ihrer freien Oberfläche viel mehr statt, als an der Wand des Gefässes, wenn diese trocken ist. Die freie Oberfläche wird daher

unter allen Umständen eine der Gleichung z+a2 (1 + 1) = c

R R entsprechende Gestalt haben, wenn die Flüssigkeit in Ruhe ist: aber die andere Bedingung für die Grenze braucht noch nicht erfüllt zu sein, weil, wenn die erste Bedingung erfüllt ist, der Uebergang zum Minimum von W nicht ohne Verschiebung der an der Wand befindlichen Theilchen geschehen kann, welcher die Reibunng Widerstand leistet. Man bemerkt daher bei benetzten Wänden grössere Uebereinstimmung der Erscheinungen mit obigen Formeln, als bei trocknen, weil an jenen die Theile der flüssigen Masse leichter fortgleiten, als an diesen.

Aus Beobachtungen an benetzten Gefässen lässt sich der Werth von a herleiten. Nach den Versuchen von Laplace ergiebt sich für Wasser bei der Temperatur von 8°,5 Cent. a = 2,7509 Millim., für Weingeist vom specifischen Gewichte 0,81961, a = 1,7447 Mm., für Terpentinöl bei 8° C. a 1,818; für Quecksilber bei 10° C. a = 1,803. Die Temperatur scheint auf die Werthe von a nur in so weit Einfluss zu haben, als sie die Dichte der Flüssigkeit ändert, welcher der Werth von a proportional ist.

Wir besitzen noch eine Bearbeitung dieses Gegenstandes in der Nouvelle théorie de l'action capillaire par S. D. Poisson, Paris 1831, welche sich besonders durch genaues Eingehen in viele einzelne Erscheinungen auszeichnet, einen zusammenfassenden Auszug aber nicht leicht gestattet; daher ich mich hier nur auf eine Bemerkung über die Polemik, welche der berühmte Verfasser gegen die bisherige Theorie richtet, beschränken will. Poisson tadelt nämlich, dass man die Aenderung nicht in Rechnung gebracht habe, welcher die Dichtigkeit des flüssigen Körpers an seiner Oberfläche und im Innern unterworfen sei, und behauptet, dass, wenn dieselbe vernachlässigt wird, die freie Oberfläche eben und wagerecht bleiben und weder Hebung noch Senkung der Flüssigkeit eintreten werde (vgl. z. B. S. 6 der Vorrede). Der Beweis für diese der bisherigen Theorie widersprechende Behauptung geht von folgender Betrachtung aus (S. 18 u. f.):