gewissen Werth s, von s, S1 wird, von wo aus S mit wachsendem s beständig abnimmt. Folglich ist, so lange ss,, also S> 1, der reelle Theil von R Null, für s > 8, aber erhält der reelle Theil von R den anderen Werth; das Integral, welches die Componente A der Anziehung ausdrückt, ist mithin dasselbe wie vorhin, nur nicht von s = 0 sondern von s=s, anfangend. Daher erhält man für einen äusseren Punct: A = a Π ds.s S (1-S) 1 a3 r(P + 1) r ( 2 − b ) ! V (1 + ~) ' (1 + ~1) (1 + —; )' ;) wo s, die positive Wurzel folgender Gleichung ist: 4. Lamé et Clapeyron, Mémoire sur l'équilibre intérieur des corps solides homogènes. (Crelles Journal für Math. Band 7.) Diese Abhandlung geht, in Betreff der Natur eines homogenen festen Körpers, von folgender Voraussetzung aus: Ein homogener fester Körper, der sich in Ruhe befindet und auf welchem keine äusseren Kräfte wirken, ist der Ort einer sehr grossen Menge materieller Puncte (von gleichen Massen), die gleich weit und sehr wenig von einander abstehen, sich aber nicht berühren, und folgendermaassen auf einander wirken: Wenn durch einen äusseren Druck oder eine plötzlich auftretende Kraft zwei beliebige Puncte einander näher oder ferner gerückt werden, so entsteht zwischen ihnen eine Abstossung im ersten, eine Anziehung im zweiten Falle, welche eine Function des ursprünglichen Abstandes und seiner Aenderung ist. Diese Function ist für jeden beliebigen Abstand Null, wenn die Aenderung des Abstandes Null ist; sie nimmt sehr schnell ab, wenn der Abstand wächst, so dass sie einen unmerklichen Werth erhält, wenn der Abstand einen merklichen Werth hat. Je nachdem diese Function sich mehr oder weniger schnell ändert, wenn der Abstand immer mehr geändert wird, bewirkt derselbe Druck im ersten Falle eine geringere, im zweiten eine grössere Formveränderung; in jenem befinden sich die starren Körper (corps rigides) wie Steine, Metalle; in diesem die elastischen wie Cautschuk. Die folgende Theorie bezieht sich nur auf den Fall sehr kleiner Formänderungen, indem sie entweder nur die Einwirkung schwacher Kräfte oder eine grosse Starrheit des Körpers voraussetzt. Alsdann wird die Function des ursprünglichen Abstandes (?) und seiner Aenderung (A) sich auf das Product aus der ersten Potenz von A in eine Function F (2) beschränken, welche für jeden merklichen Werth von 2 Null ist. Es seien x, y, z die rechtwinklichen Coordinaten eines Theilchens M im Innern des Körpers, u, v, w die durch die angebrachten Kräfte bewirkten Aenderungen derselben, so ist es die Aufgabe, die Verrückungen u, v, w durch x, y, z auszudrücken, unter der Voraussetzung, dass sie sehr klein sind, und zugleich die damit verbundenen Spannungen im Innern des Körpers zu bestimmen. Bezeichnen x', y', z' die anfänglichen Coordinaten eines zweiten Theilchens M', in der Nähe von M, und u', v', w' die Verschiebungen von M', so hat man für die Eutfernung MM'} die Gleichung <* = (x' —x)2 + (y'—y)2 + (z' —z)2, und für die durch Verschiebung der Theilchen entstandenen Aenderung A?: (3+A3)2 = (x' −x+u'—u)3 + (y'—y+v' ~ v)2 + (z' −z +w'—w)3 oder, mit Weglassung der zweiten Potenzen von A2, u, u′, indem man setzt, x-x=h, y'-y=k, z' — z =1 2^2 = h (u'—u) + k (v'~`v) + 1 (w'—w). und Die Kraft mit welcher M' auf M anziehend wirkt, ist nach der Voraussetzung = F (2). 42, multiplicirt man diesen Ausdruck mit so ergeben sich ihre Componenten nach x, y, z; diese sind mithin h { (u'—u) 2 + (v'—v) + (w'—w) F (2). nach x, u. s. f. 1. Eine solche Componente ist positiv oder negativ, je nachdem sie ihren Angriffspunct nach der positiven oder negativen Richtung der ihr entsprechenden Axe (was man durch vorwärts oder rückwärts bezeichnen kann) fortzuziehen strebt. Die Verschiebung u ist eine Function von x, y, z; bezeichnet man daher u mit f (x, y, z), so ist die auf M' bezügliche Verschie bung u' f (x', y', z), und weil x'=x+h, y'y+k, z'z+1, u'= so ist, wenn man nach Potenzen von h, k, 1 entwickelt und die höheren Glieder weglässt: Dieser Werth von u'u, und eben so die entsprechenden für v' - v, ww sind in die unter 1. angegebenen AnziehungsComponenten einzusetzen. Dieses vorausgesetzt, denke man sich in dem Körper eine Ebene E, parallel mit xy, in der Entfernung z vom Anfange der Coordinaten, und einen auf ihr senkrechten Cylinder, von sehr kleiner in E befindlicher Grundfläche &, von E aus rückwärts errichtet; so lassen sich die aus einer kleinen Verschiebung entste henden Wirkungen der vor der Ebene E (also auf ihrer vom Cylinder abgekehrten Seite) befindlichen Theilchen auf den Cylinder folgendermassen finden: Es sei M das an der Grundfläche & liegende Theilchen des Cylinders, dessen (anfängliche) Coordinaten x, y, z sind; M' sei ein vor der Ebene E liegendes Theilchen, dessen anfängliche Coordinaten x', y', z'; so findet man für die Componenten der durch Verschiebung entstehenden Anziehung von M' auf M die unter 1. gegebenen Ausdrücke. Ferner sei M, ein Theilchen des Cylinders, dessen anfängliche Coordinaten x, y, z-p sind, wo p eine positive Grösse bezeichnet, der man nur sehr kleine Werthe beizulegen braucht, weil nur die nahe an der Grundfläche liegenden Theile des Cylinders in Betracht kommen, und es sei noch M' das vor der Ebene E befindliche Theilchen, dessen Coordinaten x', y', z'-p sind, so dass die gerade Linie M', M, der Geraden M'M = gleich und parallel ist. Bezeichnet man durch u,, V1, w, die Verschiebungen von M,, und durch u,', v,', w,' die von M', so findet sich u1 = f (x, y, z—p), also u 1 du u du u,' = f (x', y', z'-p), also u,' = u+ h+ k+ (1-p); dx dy dz folglich u,'-u, du du du = h+ k+ 1 = u'-u, ebenso v =v'—v, w,' —w、 = W' w; woraus hervorgeht, dass die Anziehung von M', auf M, der von M' auf M parallel und gleich ist, indem sich für die Componenten jener ebenfalls die Ausdrücke 1. ergeben. Diese Ausdrücke gelten zunächst für die Einheiten der Masse; drückt man aber das Element des Volumens oder der Masse = = dλ des Cylinders von der Grundfläche ε, durch dp aus, und setzt man h= cos y cosy, k cos y sin v, 1=2 sin 9, wodurch für das anziehende Element M' oder M', der Ausdruck 22 cos yddyd erhalten wird, so hat man die unter 1. gegebenen Werthe noch mit d.ɛdp zu multipliciren. Man findet daher, wenn zur Abkürzung sin 9 cos y cos y +Car gesetzt wird, als Componenten nach x, y, z folgende Werthe: Q¿F(2). cos y cos .d.ɛdp, Q2F(2) cos y sin чd . ɛdp, Q2F(2) sin pd.edp, wo dλ= 21 cos dydd. Integrirt man diese Ausdrücke zuerst von p=0 bis p = 2 sin 9, so ergiebt sich die Summe aller Wirkungen, welche in der Richtung (9,) und aus dem Abstande 2, von den vor der Ebene & befindlichen Theilchen, auf den Cylinder ausgeübt werden, und integrirt man sodann von 40 bis 2x, von 9 = 0 bis 9 = 2' = und von 20 bis zu 2 = ∞ (indem F(2): =0 wird, wenn ? einen merklichen Werth hat), so erhält man folgende Componenten der auf den Cylinder wirkenden Anziehung: X"=A ́dv du dv (du + dw), Y" = A (dz + dw), z" =A (dx + dy + 3 d), dz Z" 2.a. Wo A= 24F2d2 und der Factor & weggelassen ist, also die 15 Kräfte auf die Flächeneinheit gebracht sind. Auf dieselbe Weise findet man für einen auf yz senkrechten Cylinder: du dv du x = A (3d+dr+dw), Y=A (dr+d), Z-A (dw+da). 2. b. dx dy X' dx Und für einen auf xz senkrechten Cylinder: x' = A (de+dr), Y' = A (+3 Ein cylindrisches (oder prismatisches) Element des Körpers, dessen Grundflächen der Ebene yz parallel sind, also die Seite parallel mit x, erleidet daher an seiner vorderen (d. h. zu dem algebraisch grösseren Werthe von x gehörigen) Grundfläche einen schiefen Druck oder Zug = P = VX2+Y2+Z3. Die Componenten X, Y, Z sind positiv oder negativ, je nachdem sie ihren Angriffspunct vor- oder rückwärts zu ziehen, also bezüglich die Werthe von X, Y, Z algebraisch zu vergrössern oder zu vermindern streben. Die Kraft P ist ein Zug oder Druck, je nachdem ihre auf der Fläche des zugehörigen Elementes normale Componente, nämlich X, positiv oder negativ ist. Mit dieser die Bedeutung der Vorzeichen betreffenden Bemerkung kann noch die Anmerkung zu dem später unter 1. aufgeführten Satze verglichen werden. Denkt man sich daher in dem Körper ein prismatisches unendlich kleines Element = dx dy dz, dessen Grenzflächen den Coordinaten - Ebenen parallel sind, und gehört von den beiden mit yz parallelen Grenzflächen die eine (vordere) zur Abscisse x, die zweite zu x-dx, so erleidet die erste durch die vor ihr befindlichen Theilchen einen schiefen Zug, dessen Componenten Xe, Ye, Ze sind, wo & = dy dz, und die zweite durch die hinter ihr liegenden Theilchen des Körpers einen schiefen Gegenzug, dessen Componenten dY — (x — dx dx)e, — (Y — dx dx);, — (z — d7dx): sind; da dx dx her ergeben sich für die Resultante dieser auf die beiden Grenzflächen dy dz wirkenden Zugkräfte folgende Componenten: dY ᏧᏃ dx dy dz, dx dy dz, dx dy dz, welche das Element bezie hungsweise nach der Richtung der positiven x, y, z fortzuziehen streben. Für die Resultante der auf dx dz wirkenden Kräfte folgen die Componenten: dX' dx dy dz, dY' dx dy dz, dy dy dz' dy dx dy dz bez. nach x, y, z und für die auf dx dy wirkenden Zugkräfte die Componenten: dx" dz dx dy dz, dx dy dz, dx dy dz bez. nach x, y, z. dz Sind nun X, dx dy dz, Y, dx dy dz, Z, dx dy dz die auf das Element wirkenden äusseren Kräfte, so müssen diese mit den vorstehenden bezüglich nach x, y, z wirkenden Zugkräften im Gleichgewichte sein. Die nach x wirkenden Zugkräfte haben die Resultante |
