S(VU) ds = 0, nach 3., weil die eingeschlossene Masse = M -M0, und ausserhalb der Kugel keine Masse vorhanden, also auch V=0 ist. Allein das Potential V - U, welches an der Oberfläche des Raumes T constant ist, kann nach 9. ausserhalb dieses Raumes sein Zeichen nicht wechseln; folglich kann auch das über die ganze aussen befindliche Kugelfläche ausgedehnte Integral (V-U) ds nicht Null sein, wenn nicht V-U=0. Folg lich ist im ganzen äusseren Raume V — U=0 (vgl. 8.), mithin auch, da sich das Potential nach der Stetigkeit ändert, an der Oberfläche V -U=0. Da hiernach das vereinigte Potential V- U der im Innern vertheilten Masse M und der auf der Fläche vertheilten Masse M auf der Fläche und im äusseren Raume überall denselben Werth hat, nämlich Null; so ist auch, wenn dt ein beliebiges Linear-Eled (V-U) ment auf der Fläche oder im äusseren Raume bezeichnet, dt =0; d. h. die Anziehung der Gesammtmasse M-M ist nach jeder Richtung auf der Fläche und im äusseren Raume Null. Folg lich hält die Wirkung von M in jedem Puncte auf der Fläche und im äusseren Raume der Wirkung von M Gleichgewicht; oder die Wirkung einer inneren Masse - M lässt sich durch eine passende Vertheilung derselben Masse M an der Oberfläche, für diese Fläche und den ganzen äusseren Raum vollständig ersetzen; w. z. b. w. 12. Denkt man sich eine beliebige Massenvertheilung blos auf den äusseren von einer geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt, so kann man ihre Wirkung auf den inneren Raum ebenfalls durch eine blos auf der Oberfläche vertheilte Masse ersetzen. Bezeichnet nämlich U das Potential der äusseren Massen M für einen beliebigen Punct der Fläche S, so lässt sich nach 11. eine willkührlich gegebene Masse M' auf der Fläche, wenn nicht gleichartig, so doch ungleichartig, so vertheilen, dass, wenn V das Potential von M' für die Fläche S bedeutet, die Differenz V-U auf der ganzen Fläche S constant wird. Da der unter 5. aufgestellte Lehrsatz noch richtig bleibt, wenn ein Theil der Massen sich auf der Oberfläche des geschlossenen Raumes T befindet; so ist das Potential der Masse MM auch in dem ganzen Raume innerhalb der Fläche S constant, und mithin die Wirkung der Masse M' in jedem Puncte dieses inneren Raumes einerlei mit der Wirkung von M in demselben Puncte. 1 Die Ausdehnung des Lehrsatzes in 5. rechtfertigt sich durch ähnliche Betrachtungen wie in 9. angewandt sind. Wäre nämlich das Potential der Masse M' M in einem Puncte O des inneren Raumes verschieden von seinem constanten Werthe A an der Oberfläche S dieses Raumes, so sei B sein Werth in O. Bezeichnet nun C eine Grösse zwischen B und A, so müsste das Potential, da es sich nur stetig ändert, in jeder Richtung von O aus, bevor es den Werth A erlangt, C werden; also liesse sich um O eine ganz im inneren Raume liegende geschlossene Fläche besehreiben, auf welcher das Potential überall C wäre, Nach 5. wäre dasselbe mithin auch innerhalb dieser Fläche und mithin in O selbst C, was der Voraussetzung widerspricht. = d'V (=W) Die Verwandlung des Ausdruckes dx2 + dy + dz1 durch Polarcoordinaten kommt häufig vor und liegt namentlich. auch der Untersuchung von Gauss über die allgemeine Theorie des Erdmagnetismus zu Grunde. Man bewirkt sie am leichtesten dadurch, dass man zuerst Polarcoordinaten in der Ebene xy einführt, nämlich x = e cos v, y =g sin ч, und nachher gr cos ❤, zr sing setzt. Man erhält: Um ferner von g und z auf r und 9 überzugehen, braucht man in vorstehender Formel nur x, y, e, tauschen; man erhält: mit ę, z, r, 9 zu ver d'V d'V dav 1 dv = + d2y 1 dv Die Addition dieser Gleichungen giebt W = + 1 d'v 1 dv 1 day + g de g gesetzt wird, wodurch dV de 29 dr2 r dr und wenn für g seiu Werth r cos + sich, nach Analogie des obigen Werthes welches die verlangte Umformung ist. Ist nun eine Kugel vom Halbmesser R als Träger nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung anziehender (oder abstossender) Massen gegeben, so ist für jeden Punct ausser der Kugel W = 0. Zugleich ist alsdann V = wenn dm ein Massenelement der Kugel, g dessen Entfernung vom Mittelpuncte C, und r die Entfernung des äusseren Punctes O von C, endlich den Winkel zwischen r und g bezeichnet, also cos den Werth cos y cos y′cos (4—4′) + sin y sin g', in welchem 9 und sich auf O, y' und ' auf dm beziehen. Da r grösser ist als R und mithin grösser als alle g, so 1 2 - und mithin auch V nach fallen kann man den Potenzen von r entwickeln; setzt man hiernach, um der Glei chung W=0 Genüge zu leisten, so sind die Coefficienten P., P., P,, ... rationale ganze Functionen der auf den Punct O bezüglichen Werthe von cos cos y, sincos, sin 9, von bestimmter Form, deren numerische Coefficienten sich aus den Werthen von V an der Oberfläche herleiten V lassen. Nämlich die Reihe für in welcher r > R, bleibt noch = R' convergent, wenn r R augenommen wird, und stellt alsdann die V Werthe von auf der Oberfläche dar, wenn die numerischen .... Coefficienten in P., P,, P, .. gehörig bestimmt sind. Ueber die Darstellung einer willkürlichen Function von 9 uud & durch eine Reihe von der Form P. + P, + P2 + kann man eine Abhandlung von Lejeune - Dirichlet im 17. Bande, des Journals für Mathematik von Crelle (S. 35.) nachsehen. Das Nähere über die von Gauss auf den Magnetismus gemachte Anwendung gehört nicht hierher. 3. Anziehung des Ellipsoids. Die für die mechanische Physik wichtige Frage nach der Anziehung, welche eine in dem Raume eines Ellipsoids gleichmässig vertheilte Masse, nach dem Gravitationsgesetze, auf einen Punct ausübt, hat zwar längst ihre Beantwortung gefunden; indessen dürfte die Weitläufigkeit der frühern Bearbeitungen, welche dadurch entstand, dass man den Fall eines äussern Punctes erst durch eine besondere Betrachtung auf den eines inneren zurückzuführen sich genöthigt sah, hier die Mittheilung einer neuen, kürzer zum Ziele führenden Methode von L. Dirichlet *) rechtfertigen. Dicselbe gründet sich auf einige bestimmte Integrale, welche wir zunächst angeben und mit einer kurzen Andeutung ihres Beweises begleiten wollen. ∞ Bezeichnet man, nach Legendre, das Integral e -xa- 1 X dx, in welchem a eine reelle positive Zahl ist, durch ra, und sind k und h ebenfalls reelle Grössen, k zugleich positiv, endlich i = V1, so hat man wo für die vieldeutige Potenz (k + hi) a der Werth zu setzen ist, welcher für h=0 in den positiven Werth von ka übergeht, nämlich *) Ueber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale. Denkschriften der Berliner Academie vom Jahre 1836. schwindet, weil a positiv ist, und für x=∞ ebenfalls verschwin dy det, weil der reelle Theil von p positiv ist; so erhält man: dp ay P a , also y. p2 = C. Die Constante ergiebt sich für p=1, = гa, und bleibt immer dieselbe, da y eine stetige Function von p ist, so lange nur der reelle Theil von p positiv ist; also ist y= w. z. b. w. Ta Setzt man in I. a = 1 und h=1, und trennt das Reelle vom Imaginären, so kommt, weil r1=1, Multiplicirt man die zweite dieser Gleichungen mit dk und inte grirt von k=0 bis koo, so kommt, weil Folglich ist auch, wenn 1 eine positive Grösse bezeichnet, und in vorstehender Formel lx für x gesetzt wird, wobei die Grenzen Da 2 sin x cos gx = sin (1 +g)x + sin (1—g) x, so hat man |