+120y. ·480y+210y+6y' für y = 0,44062. Der Stab verkürzt sich also am wenigsten, wenn er um 0,22031 seiner ganzen Länge von den Endpuncten entfernt aufgelegt wird; diese kleinste

Verkürzung ist = (*17. 0,0000836; bei Auflegung der End

puncte, also für y=0, beträgt die Verkürzung: ()*1. 0,0539683.

Anderweitige Ausführungen sind in der Abhandlung nachzusehen.

2. Allgemeine Sätze über Anziehungen nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung.

Die Berechnung der Anziehung, welche eine irgendwie im Raume vertheilte Masse, deren Elemente nach einem Gesetze der Entfernung anziehend wirken, auf einen gegebenen Punct ausübt, lässt sich bekanntlich auf die Bestimmung einer Function der Coordinaten dieses Punctes zurückführen, aus welcher sich, durch Differentiation nach diesen, die Componenten der Anziehung ergeben. Diese Function (von Gauss Potential genannt), ist das Integral des Ausdruckes für das virtuelle Moment der gesammten auf den Punct wirkenden Anziehung. Bezeichnet m ein Element der anziehenden Masse, m.f (r) die von ihm auf den Punct O, in der Entfernung r, ausgeübte Anziehung, ds eine beliebige unendlich kleine Verrückung des angezogenen Punctes von O nach O', durch welche die anfängliche Entfernung mor in mo'r+dr übergeht, und welche mit der Richtung Om den Winkel O'Om= bildet, so ist m.f (r). cos.. ds das virtuelle Moment der Kraft mf (r) an O. Bezeichnet man noch mit den Winkel Om O', so giebt das gleichnamige Dreieck folgende Gleichungen: (r+dr) sin. ε=ds. sin. ♪, und (r+dr) cos. ε+ds cos. =r, welche sich für ein unendlich kleines ds, in rɛ= ds.,sin., und dr- ds.cos. verwandeln; folglich ist m.f (r). dr das virtuelle Moment der von m auf O ausgeübten Anziehung., Setzt man -ffr.dr F(r), und V zm F (r), wo das Summenzeichen sich auf alle Theile der anziehenden Masse erstreckt, so ist V das Potential der anziehenden Masse für den Punct O, und wenn man mit R die Intensität der gesammten Anziehung, mit dp das Element der Richtung von R, also mit Rdp das virtuelle Moment von R, mit X, X, Z die Componenten von R nach x, y, z bezeichnet, so ist

Denkt man sich die Coordinaten x, y, z durch irgend drei andere veränderliche Grössen p, q, t ausgedrückt, so wird V eine Function von p, q, t. Nimmt man zwei dieser Grössen, q und t, als constant an, so sind x, y, z nur noch durch P veränderlich, und gehören mithin irgend einer Curve im Raume an, deren Bogen s sei. Alsdann ist s eine Function von p; es sei s=f (p), dv dV dx dV dy dV dz

also ds = f'p.dp. Nun ist

=

dx dp

+

+ dp dz dp

Neigungen von ds gegen die Axen x, y, z sind; also ist die

ds

nach der Richtung von ds wirkende Componente der Anziehung. Für eine dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportionale Anziehung ist das Potential V =

r

=

m

(a-x)+(b-y)2+(c—z)2, wo a, b, c die Coordinaten von m, und x, y, z die des angezogenen Punctes O sind. Liegt O in endlicher Entfernung von jedem Elemente der anziehenden Masse, so ist klar, dass sowohl V als auch seine Differential - Quotienten nach x, y, z endliche dv (a-x)m dv bestimmte Werthe erhalten. Man findet ΕΣ dx

=M

dv

dx'

3(a) — 1 m, und ähnliche Ausdrücke für u. 6- f.,

dy

woraus sich ergiebt:+ya+dz=0. Ist also ein beliebiger Raum mit anziehender Masse erfüllt, so gilt vorstehende Gleichung für das Potential jedes ausserhalb dieses Raumes liegenden Punctes. Sucht man dagegen das Potential für einen der anziehenden Masse selbst angehörigen Punct, so erhält r unter andern auch unendlich kleine Werthe, und man sieht nicht sogleich, ob auch alsdann dem Potentional und seinen obigen Ableitungen noch bestimmte Werthe zukommen. Durch Einführung von Polar-Coordinaten mittels der Gleichungen a=x+r sin. 4, by+r cos. sin. p, c=z+r cos. cos. y ergiebt sich jedoch als Ausdruck eines unendlich kleinen Massen-Elementes, wenn k die Dichtigkeit bezeichnet, m kr'dr. cos. dydy; mithin

woraus die Endlichkeit und Stetigkeit der Werthe von V und

dx

dv hervorgeht, in so fern die Dichtigkeit k überall als endlich Die zweiten Ableitungen dx dya' dz dx'

vorausgesetzt wird. bleiben ebenfalls überall noch endlich, ändern sich aber bei dem Uebergange aus dem äusseren in den inneren Raum nicht mehr stetig, und die obige Gleichung zwischen ihnen, welche für einen äusseren Punkt gilt, geht für einen inneren Punkt O in folgende über:

day day dav
+ +

dx2 dy2 dza

4πk,

wo k die Dichtigkeit in O ist, und vorausgesetzt wird, dass diese sich von O aus nach allen Seiten nach der Stetigkeit ändert. Man kann übrigens diese Gleichung als die allgemein gültige ansehen, in so fern für einen äusseren Punkt k=0 ist. Den strengen Beweis dieser Sätze muss man in folgender Abhandlung nachsehen: Untersuchungen über die im verkehrten Verhältnisse des Quadrates der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte von C. F. Gauss; Leipzig, in der Weidmann'schen Buchhandlung, 1840. Auf eine minder strenge Weise ist man sonst zu diesem Resultate durch Betrachtung einer gleichmässig erfüllten Kugel gelangt. Es sei C ihr Mittelpunkt, g dessen Entfernung vom angezogenen Punkte O, r die Entfernung eines Elementes m der Kugel von C; ferner sei 4 mCO, mithin die Entfernung m0=V9-2re cos +r; endlich sei p die Neigung der Ebene mCO gegen eine feste durch CO gelegte Ebene; so ist m k sin. ydgdy. r2dr das Massenelement der Kugel, und weil die Dichte k constant ist, das Potential:

sin død. r❜dr

v = k SSS g2rg cos + r2

Integrirt man von 90 bis 9 = 2x und von =0 bis =,

so kommt V = 2k/rdr (r + e − V (r — g)2), wo die Integration

noch von r=0 bis r= = R = Halbmesser der Kugel auszudehnen und für die Quadratwurzel aus (re) jedesmal ihr positiver Werth zu setzen ist. Hiernach erhält man für einen ausserhalb der Kugel befindlichen Punct, also wenn > R, V=; ;

ist

aber R, so ergiebt sich der Werth von V=2xk (R2 — žę2). Da g3 = x2+y2+z3, so folgt weiter, wenn hier bloss der zweite für den inneren Punkt geltende Werth von V in Betracht

Stellt nun, V das Potential

der Dichte k befindlichen Punkt. eines beliebig begrenzten und von anziehender Masse erfüllten Raumes für einen innerhalb liegenden Punkt O vor, von welchem aus die Dichte der Masse sich nach der Stetigkeit ändert, so be schreibe man um O als Mittelpunct eine Kugel von sehr kleinem Halbmesser, nenne V' das Potential ihrer Masse, und V" das Potential der abrigen Masse für den Punkt O, so ist V=V'+V". Da für die zu V" gehörige Masse O ein äusserer Punct ist,

so hat man +..=0; gestattet man sich ferner, die stetig

dx

veränderliche Dichtigkeit der um O beschriebenen Kugel, wegen der Kleinheit ihres Durchmessers, als constant zu betrachten, und demnach die vorstehenden Resultate darauf anzuwenden, so kommt

4rk, folglich + =-4ak, wo k die Dich

...

tigkeit in dem angezogenen Puncte O vorstellt.

In der genannten Abhandlung von Gauss dient die Untersuchung dieser Gegenstände nur als Vorbereitung zu weiter gehenden Untersuchungen über das Potential, von welchen ein Haupt- Resultat dieses ist, dass anstatt einer gegebenen Massenvertheilung im Innern eines überall begrenzten Raumes sich immer eine bloss auf die Oberfläche beschränkte Massenvertheilung setzen lässt, welche für alle Puncte der Oberfläche und des äusseren Raumes dasselbe Potential liefert, wie die ursprüngliche im Innern gegebene Masse. Ich will versuchen, das zum Beweise dieses Satzes Erforderliche aus der Abhandlung zusammen stellen, auf welche im Uebrigen verwiesen werden muss.

zu

Diese Untersuchung geht, wie man aus Vorstehendem sieht, von der Annahme aus, dass eine Masse M auch blos an der Oberfläche eines Raumes vertheilt sein kann. Es stelle kds ein Element dieser Masse vor, welches über das Flächenelement ds verbreitet ist; k heisse die Dichtigkeit. Das Potential dieser auf der

Fläche vertheilten Masse für irgend einen Punct O ist kds,

2

WO

Führt man Polar-Coordinaten

r = √( a − x) 1 + (b − y)2 + (c — z), und x, y, z die Coordinaten von Q, a, b, c die von ds sind. ein, nämlich a=x+r cos. y cos. 4,

b = y + r cos. & sin. y, c = z

woraus man sieht, dass das Potential einer Fläche für einen Punct O auch dann einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn O in der Fläche liegt, indem es von dem Divisor r befreit ist; und dass es sich nach der Stetigkeit ändert, wenn die Lage von O stetig geändert wird.

Dieses Integral erhält jedoch eine unbestimmte Form, und ist zur

dv

Darstellung des Werthes von nicht unmittelbar tauglich, wenn

dx

der Punct O in der Oberfläche liegt. Ist diese eine Kugelfläche vom Halbmesser R, und die Dichte k der über sie vertheilten Masse constant; so findet man zunächst V4xk R für einen in4xk R2 für einen äusseren Punct, Գ

neren Punct O, hingegen V =

wobei ę =V+y+z den Abstand des Mittelpunctes von O bezeichnet. (Der Beweis folgt nachher unter 2.) Hieraus ergiebt

den äusseren Punct. Auf der Kugelfläche selbst werden beide Werthe zugleich gelten, je nach dem Zeichen von dx; gleich werden sie nur dann, wenn x = 0, Vy1‡z2=±R, also wenn das Linear-Element dx auf der Oberfläche selbst liegt.

dV dV dv

Allgemein erhalten die Ausdrücke ddy' dz oder die nach den Axen x, y, z wirkenden Componenten der Anziehung, an der Oberfläche zwei verschiedene Werthe, je nachdem dx, dy, dz als positiv oder als negativ betrachtet werden; wenn jedoch das Element dx auf der Fläche liegt, so fallen beide Werthe von zudx

dv

sammen. Die nähere Untersuchung dieses Gegenstandes glaube ich hier übergehen und auf die §. 13-18 der Abhandlung verweisen zu dürfen. Im Folgenden kommen Ableitungen von Potentialen