Repertorium der physik: Enthaltend eine vollständige zusammenstellung der ...

Dreizehnter Abschnitt.

Mechanik,

bearbeitet von

Ferdinand Minding.

I. Allgemeine Statik.

Bekanntlich lassen sich alle Entwickelungen der Statik auf den Satz der virtuellen Geschwindigkeiten als gemeinschaftliches Princip zurückführen. Bezeichnet P die Intensität einer Kraft, ds eine beliebige unendlich kleine Verrückung ihres Angriffspunctes, welche jedoch mit den Bedingungen verträglich sein muss, denen die Lage desselben unterworfen ist; heisst ferner der Winkel zwischen den Richtungen von P und ds, so ist P cos. ds das Product aus der Kraft in die Projection der Verrückung des Punctes auf die Richtung der Kraft, oder auch das Product aus der Verrückung des Punctes in die ihrer Richtung parallele Componente der Kraft, welches Product das virtuelle Moment der Kraft P genannt wird. Dasselbe ist positiv oder negativ, je nachdem der Winkel spitz oder stumpf ist, oder je nachdem die Fortrückung nach der Richtung der Kraft in dem Sinne der Kraft oder diesem entgegen geschieht. Nach dem Satze der virtuellen Geschwindigkeiten muss, für das Gleichgewicht eines Systems, die Summe der virtuellen Momente für jede virtuelle Verrückung der Puncte gleich Null sein. Diese gewöhnliche Aussage ist hinreichend, wenn zwischen den Coordinaten der Puncte Bedingungsgleichungen Statt finden, die auf keine Weise verletzt werden dürfen, also wenn die Puncte genöthigt sind, auf gewissen Flächen zu bleiben, die entweder unmittelbar gegeben sind, oder die man aus den Bedingungsgleichungen des Systems erhält, wenn man in diesen nur die Coordinaten eines Punctes als veränderlich betrachtet. Um auch sogleich solche Fälle zu umfassen, in welchen Puncte nur auf gegebenen Flächen so liegen, dass sie sich von ihnen nach einer Seite entfernen könuen, drückt Gauss den Satz der virtuellen Geschwindigkeiten so aus, dass die Summe der virtuellen Momente, für jede zulässige

virtuelle Bewegung, für das Gleichgewicht gleich Null oder negativ sein muss, also nie einen positiven Werth erhalten darf. In der That ist, wenn ein Punct auf einer Fläche liegt, von welcher er sich nach einer Seite in der Richtung der Normale entfernen kann, das virtuelle Moment des Widerstandes der Fläche, für eine Verrückung des Punctes in der Richtung der Normale, offenbar positiv, weil die Verrückung nur in dem Sinne des normalen Widerstandes geschehen kann; und da es in Verbindung mit den virtuellen Momenten der übrigen auf den Punct wirkenden Kräfte die Summe Null geben muss, wenn der Punct im Gleichgewicht sein soll, so muss für diese normale Verrückung die Summe der virtuellen Momente der übrigen Kräfte negativ sein; eine Bemerkung, welche sich leicht auf ein System übertragen lässt und dadurch den obigen Ausdruck liefert.

Im 4ten Bande des Crelleschen Journals für Math. (S. 232.) hat Gauss das Grundprincip der Mechanik in einer neuen Form dargestellt, welche unmittelbar die Bewegung wie das Gleichgewicht umfasst, nämlich in folgender: Die Bewegung eines Sy. stemes irgendwie mit einander verbundener Puncte geschieht in jedem Augenblicke, in möglich grösster Uebereinstimmung mit der freien Bewegung, oder unter möglich kleinstem Zwange, indem man als Maass des Zwanges, den das ganze System in jedem Zeittheilchen erleidet, die Summe der Producte aus dem Quadrate der Ablenkung jedes Punctes von seiner freien Bewegung in seine Masse betrachtet.

...

Sind nämlich m, m', m", die Massen der Puncte; a, a', a", ... ihre Orte zur Zeit t; b, b', b“, ... die Orte, welche sie nach der unendlich kleinen Zeit dt in Folge der während dieser Zeit auf sie wirkenden Kräfte und der zur Zeit t erlangten Geschwindigkeiten und Richtungen einnehmen würden, falls sie alle vollkommen frei wären; so werden die wirklichen Orte c, c', c', ... diejenigen sein, für welche, unter allen mit den Bedingungen des Systems vereinbaren, m (bc)+m' (b'c') + m“ '(b'c") 2 + ... ein Minimum wird.

Das Gleichgewicht ist offenbar nur ein einzelner Fall dieses allgemeinen Gesetzes, und die Bedingung dafür, dass m (ab)+ m' (a'b')... selbst ein Minimum sei, oder dass das Beharren des Systems im Zustande der Ruhe der freien Bewegung der einzelnen Puncte näher liege, als jedes mögliche Heraustreten aus demselben.

Die Ableitung dieses Princips aus dem Satze der virtuellen Geschwindigkeiten gesehieht mit Hülfe des d'Alembertschen Princips auf folgende Weise:

Die auf den Punct m wirkende Kraft ist zusammengesetzt aus einer, die in Verbindung mit der zur Zeit t Statt habenden Geschwindigkeit und Richtung ihn in der Zeit dt von a nach c führt und einer zweiten, die ihn in derselben Zeit aus der Ruhe in c durch cb führen würde, wenn er frei wäre. Dasselbe gilt von den andern Puncten. Die Wirkung dieser zweiten Kräfte werden dadurch aufgehoben, dass die Puncte nicht frei sind, oder es müssen, nach d'Alemberts Princip, die Puncte m, m', . . des Systemes in c, c', c', ... unter alleiniger Wirkung dieser Kräfte, vermöge der Bedingungen des Systemes, im Gleichgewichte sein. Denkt man sich daher die Puncte m, m', m", ... aus c, c', c“, ... auf irgend eine mit den Bedingungen des Systems verträgliche Weise nach dem Orte y, y', y', ... verschoben, und sind ♪, ', . . die Winkel, welche cy, cy', . . mit cb, c'b', ... einschliessen, so ist nach dem Gesetze der virtuellen Geschwindigkeiten zm. cb. cy. cos. entweder Null oder negativ. Da nun yb2 = cb2+cp-2 cb. cy. cos., so folgt hieraus, dass Em.yb3 —Σm.cb2 Em.cy - 2m.cb. cy. cos. immer positiv sein wird, also Em. yb immer grösser als Σm.cb3, d. i. dass 2m.cb ein Minimum sein wird; w. z. b. w. So allgemein diese Principien sind, so trägt doch das Gesetz der virtuellen Geschwindigkeiten seinen Beweis keinesweges in sich selbst, sondern es muss erst auf einfachere Grundlagen zurückgeführt werden. Diese bestehen in dem Parallelogramm der

Kräfte und in dem Axiom von der Gleichheit zwischen Action und Reaction, aus deren Verknüpfung der Satz der virtuellen Geschwindigkeiten als allgemeinste Folgerung hervorgeht. Gewinnt man durch diesen eine allgemeine Methode, um die Probleme der Statik in Gleichung zu setzen, so verfährt man doch nicht weniger direct, wenn man diese Probleme, ohne jenen Satz anzuwenden, unmittelbar auf die genannten Grundlagen zurückführt. — Zu den wichtigsten Vereinfachungen, welche die Statik durch solche auf die einfachsten Gründe zurückgehenden Betrachtungen gewonnen hat, gehört die Einführung der Kräftepaare von Poinsot, welche, wenn sie auch nicht als ein neues Resultat, sondern nur als ein anderer Ausdruck für die Theorie der Momente anzusehen ist, doch durch ihre Angemessenheit die elementaren Untersuchun

gen über das Gleichgewicht sehr erleichtert und zu einem hohen Grade geometrischer Anschaulichkeit erhebt. Eine nähere Angabe dieser Theorie wird man hier nicht erwarten, weil dieselbe sehon zu den älteren Arbeiten gehört; es genügt, hierüber auf die Elémens de Statique von Poinsot zu verweisen, so wie auf einige andere Lehrbücher, in welche diese Theorie, nachdem sie lange keinen merklichen Eingang gefunden, erst in der neuesten Zeit übergegangen ist, namentlich auf das Lehrbuch der Statik von Möbius, Leipzig 1837 und auf das von mir herausgegebene Handbuch der theoretischen Mechanik, Berlin 1838.

Mit Hülfe dieser auf geometrische Anschauung gegründeten Betrachtungsweise hat Poinsot neuerlich das dynamische Problem der Drehung eines festen Körpers, auf welchen keine beschleunigenden Kräfte wirken, auf sehr elegante Weise behandelt. Seine Schrift: Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris 1834, giebt jedoch nur den Gang und die Resultate der Untersuchung an; die Beweise muss der Leser selbst ergänzen.

Eine früher in die Statik nicht eingeführte Untersuchung gründet sich auf folgende Betrachtung. Wenn an den Puncten eines festen Systemes oder Körpers unveränderliche Kräfte haften, d. h. solche, die bei jeder Verschiebung des Körpers nach Richtung und Intensität ungeändert auf dieselben Angriffspuncte wirken; so hängt ihre Wirkung, welche der Theorie der Kräftepaare zufolge sich immer und nur auf eine Weise auf die einer einfachen Kraft und eines zu derselben senkrechten Paares zurückführen lässt, offenbar von den verschiedenen Stellungen ab, in welche der Körper durch seine Verschiebung gegen die Kräfte gebracht wird. Sind insbesondere die Kräfte parallel und ist ihre Mittelkraft nicht gerade Null, so haben sie bekanntlich für jede Stellung des Körpers eine einfache Resultante, welche den Körper beständig in einem festen Puncte, dem Mittelpuncte der parallelen Kräfte oder dem Schwerpuncte, trifft. Dieses einfache Resultat hat sich einer grossen Erweiterung fähig gezeigt, in Betreff deren ich auf die Statik von Möbius so wie auf mein Handbuch der Mechanik verweise, da hier nicht der Ort ist, auf den Gegenstand ausführlich zurückzukommen. Der Umstand, dass diese Untersuchnng sich gleichzeitig zweien von einander ganz unabhängigen Bearbeitern der Statik, wenn auch unter verschiedenen Gesichtspuncten, dargeboten hat, spricht dafür, dass es sich dabei um eine folgerechte Entwickelung

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