ÜBER DIE RATIONALITÄT DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE

TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN.

§. 1. Einleitung.

Es ist eine bekannte Thatsache, dass in einer jeden Krystallreihe die Tangenten der gegenseitigen Neigungswinkel aller tautozonalen, d. h. zu einer und derselben Zone gehörigen Flächen in rationalen Verhältnissen zu einander stehen. *) Diese Thatsache hat nicht nur ein praktisches, sondern auch ein thecretisches Interesse. Sie ist nämlich von praktischem Werthe, weil sie allen unseren Ableitungs-Constructionen zu Grunde liegt, und weil sie uns bei der Berechnung der verschiedenen Kantenwinkel einer und derselben Zone ein sehr leichtes und sicheres Anhalten gewährt. Sie hat aber auch eine theoretische Bedeutung, weil sie uns lehrt, dass das Verhältniss der Grund-Dimensionen einer jeden Krystallreihe wohl am richtigsten durch Quadratwurzelzahlen darzustellen ist, und weil sie uns einige Kriterien für die Beurtheilung der Zulässigkeit schiefwinkeliger Axensysteme darbietet.

Obgleich nämlich die Nothwendigkeit eines irrationalen Verhältnisses der Grund-Dimensionen für die verschiedenen Krystallreihen eines und desselben Krystallsystems schon a priori gefolgert werden kann, weil nur dadurch jeder Uebergang aus einer Krystallreihe in die andere, und das Zusammenfallen aller zu einem und demselben Systeme gehörigen Krystallreihen in einen einzigen Complex commensurabeler Formen unmöglich gemacht wird; so lässt doch diese Folgerung die Frage noch gänzlich unbeantwortet, in welcher Weise jener irrationale Charakter aufzufassen sei; ob es also Quadratwurzeln, Cubikwurzeln, oder irgend andere irrationale Zahlen sind, durch welche das

*) Es ist jedenfalls nützlich und bequem, für alle zu einer und derselben Zone gehörige Flächen einen sie gemeinschaftlich begreifenden Namen zu gebrauchen, weshalb ich sie tautozonale Flächen nenne; eben so verstehe ich unter tautozonalen Kanten alle zu einer und derselben Zone gehörigen Kanten.

Verhältniss der Grund-Dimensionen dargestellt werde. Die Thatsache der rationalen Verhältnisse der Tangenten aller Kantenwinkel einer und derselben Zone macht es aber höchst wahrscheinlich, dass meist nur Quadratwurzelgrössen der Natur entsprechen können, ohne dass jedoch rationale Zahlenwerthe gänzlich ausgeschlossen sind; ja, in den schiefwinkeligen Axensystemen scheint es sogar möglich, dass die Grund-Dimensionen ein rationales Verhältniss besitzen, weil schon die Verschiedenheit der schiefen Neigungswinkel der Axen die verschiedenen Krystallreihen incommensurabel macht.

Besonders aber dürfte das Gesetz der Rationalität der TangentenVerhältnisse eine theoretische Wichtigkeit für die Beantwortung der Frage gewinnen, ob den klinoëdrischen oder schiefwinkeligen Krystallsystemen, welche noch von so manchen ausgezeichneten Krystallographen als blose hemiëdrische oder tetartoëdrische Modificationen des rhombischen Systemes betrachtet werden, eine wirkliche Selbstständigkeit zugestanden werden könne, oder nicht. In diesen Systemen gewinnt nämlich, unter Voraussetzung schiefwinkeliger Axen, der allgemeine Ausdruck für die Tangenten der Neigungswinkel tautozonaler Flächen eine solche Gestalt, dass daraus gewisse Bedingungen gefolgert werden können, unter denen die schiefen Winkel der Axen und die Grund-Dimensionen stehen müssen, dafern die Rationalität der Tangenten -Verhältnisse erhalten bleiben soll. Da nun an der Erhaltung dieses Gesetzes auch in dem monoklinoëdrischen und triklinoëdrischen Systeme gar nicht gezweifelt werden kann, so kommt es nur darauf an, zu prüfen, ob auch jene Bedingungen für die verschiedenen Krystallreihen dieser Systeme wirklich in Erfüllung gebracht sind. Sollte sich diess bestätigen, so würde wohl eines der wesentlichsten Bedenken gehoben sein, welches vom krystallographischen Standpunkte aus noch gegen die Anerkennung schiefwinkeliger Axensysteme geltend gemacht werden kann. Wir werden aber weiter unten an einigen Beispielen zeigen, dass die Krystallreihen des monoklinoëdrischen und triklinoëdrischen Systemes den Bedingungen recht wohl entsprechen, welche für die Elemente ihrer Axensysteme gefordert werden, und dass z. B. das Vorkommen gleich geneigter aber krystallographisch und physikalisch ungleichwerthiger Flächen in manchen Krystallreihen des monoklinoëdrischen Systemes, wie des Orthoklases und Pyroxenes, eine nothwendige Folge jener Bedingungen ist.